Nouvelles perspectives sur les algèbres de type Askey–Wilson
La théorie des fonctions spéciales joue un rôle important en physique car elle sert à exprimer les solutions et quantités d'intérêt de modèles exactement résolubles. Leur étude par une approche algébrique est très fructueuse et établit des connexions riches entre ces deux domaines. D'une part, elle permet d'utiliser des outils de l'algèbre pour réaliser des progrès en théorie des fonctions spéciales. D'une autre part, elle permet d'appliquer les connaissances sur les fonctions spéciales dans des domaines auxquels touche l'algèbre. Une classe de fonctions spéciales particulièrement riche est celle des polynômes orthogonaux. Les polynômes d'Askey–Wilson sont les plus généraux de cette classe, et à ceux-ci sont reliées les algèbres de type Askey–Wilson. Les travaux de cette thèse tournent autour des algèbres de type Askey–Wilson et se divisent en trois parties.
Dans la première partie, on étudie la dualité de Howe et comment celle-ci peut être réalisée dans des modèles physiques superintégrables. Ces constructions fournissent deux interprétations duales pour les algèbres de Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, q-Hahn et dual –1 Hahn. La façon dont la dualité de Howe opère est rendue explicite par l'examen de processus de réduction dimensionnelle. Un modèle superintégrable 2D de mécanique quantique superconforme est également introduit et solutionné exactement.
Dans la deuxième partie, on introduit des algèbres qui généralisent les algèbres de type Askey–Wilson; on parle ici de généralisation car ces nouvelles algèbres encodent davantage de propriétés des polynômes. On découvre que celles-ci peuvent être vues comme des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin. On démontre également que les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres ont pour base les familles de para-polynômes de type Krawtchouk, Racah, q-Krawtchouk et q-Racah. La façon dont les polynômes de para-Krawtchouk sont reliés aux représentations tridiagonales du plan de Jordan déformé est aussi présentée.
Dans la dernière partie, on explore un autre type de généralisation des algèbres de type Askey–Wilson : les généralisations à plus haut rang, qui sont associées aux polynômes orthogonaux multivariés. Pour ce faire, on étudie les réalisations de ces algèbres en termes de Casimirs intermédiaires. Divers isomorphismes entre l'algèbre du crochet de Kauffman de la sphère trouée et l'algèbre engendrée par les Casimir intermédiaires de Uq(sl(2)) dans Uq(sl(2))⊗n sont prouvés et/ou conjecturés. Une interprétation diagrammatique de l'algèbre d'Askey–Wilson et du rôle de la matrice R tressée de Uq(sl(2)) est fournie. Enfin, dans le cas limite q=1, une présentation complète du centralisateur de U(sl(2)) dans U(sl(2))⊗n par générateurs et relations est obtenue et on montre que ce centralisateur est isomorphe à un quotient (donné explicitement) de l'algèbre de Racah de plus haut rang R(n).
